"Mod det uendelige univers!"
Har du endda tænkt dybt på Buzz Lightyears berømte fangstfrase fra "Toy Story" -filmene? Sikkert ikke. Men måske har du undertiden kigget op på nattehimmelen og spekuleret på selve uendelighedens natur.
Uendelighed er et underligt koncept, som den menneskelige hjerne har svært ved at vikle sin begrænsede forståelse rundt. Vi siger, at universet måske er uendeligt, men kan det virkelig bare fortsætte for evigt? Eller cifre-cifrene efter decimal - kører de faktisk uendelige, hvilket altid giver os så meget mere præcision om forholdet mellem en cirkels omkreds og radius? Og kunne Buzz have ret? Er der noget ud over uendelig?
For at tackle disse tankebøjende spekulationer, indhentede Live Science hjælp fra matematikeren Henry Towsner fra University of Pennsylvania i Philadelphia, som var venlig nok til at prøve at besvare spørgsmålet, "Kan du tælle forbi uendelig?" (Vær opmærksom: dette bliver vanskeligt.)
Uendelighed, sagde Towsner, sidder på et mærkeligt sted: De fleste mennesker føler, at de har en vis intuition om konceptet, men jo mere de tænker over det, desto mere underligt bliver det.
Mathematikere på den anden side tænker ikke ofte på uendelighed som et begreb alene, tilføjede han. Snarere anvender de forskellige måder at tænke på det for at komme til dets mange aspekter.
For eksempel er der forskellige størrelser på uendelig. Dette blev bevist af den tyske matematiker Georg Cantor i slutningen af 1800-tallet i henhold til en historie fra University of St. Andrews i Skotland.
Cantor vidste, at de naturlige tal - det vil sige hele, positive tal som 1, 4, 27, 56 og 15.687 - fortsætter for evigt. De er uendelige, og de er også det, vi bruger til at tælle ting, så han definerede dem som ”tællelig uendelige” ifølge et nyttigt websted om historie, matematik og andre emner fra den uddannelsesmæssige tegneserieskaber Charles Fisher Cooper.
Grupper med antallet af uendelige tal har nogle interessante egenskaber. For eksempel er det lige antal (2, 4, 6 osv.) Også utallige. Og selvom der teknisk set er halvt så mange af dem som det, der er omfattet af det fulde sæt af naturlige tal, er de stadig den samme slags uendelige.
Med andre ord kan du placere alle de lige antal og alle de naturlige tal side om side i to kolonner, og begge søjler går til uendelig, men de er den samme "længde" af uendelig. Det betyder, at halvdelen af den tællelige uendelighed stadig er uendelig.
Men Cantors store indsigt var at indse, at der var andre sæt tal, der var utallige uendelige. De reelle tal - som inkluderer de naturlige tal såvel som fraktioner og irrationelle tal som pi - er mere uendelige end de naturlige tal. (Hvis du gerne vil vide, hvordan Cantor gjorde det og kan håndtere en vis matematisk notation, kan du tjekke dette regneark fra University of Maine.)
Hvis du skulle sammenstille alle de naturlige tal og alle de reelle tal side om side i to kolonner, ville de reelle tal strække sig ud over det uendelige med de naturlige tal. Cantor blev senere skør, sandsynligvis af grunde, der ikke var relateret til hans arbejde med uendeligt, ifølge Cooper.
Hvad tæller?
Så tilbage til spørgsmålet om at tælle uendelig fortid. ”Hvad matematikken får dig til at spørge er:" Hvad betyder det virkelig? "Sagde Towsner. "Hvad mener du med at tælle uendelig fortid?"
For at komme ind på spørgsmålet talte Towsner om ordinære numre. I modsætning til kardinalnumre (1, 2, 3 og så videre), der fortæller dig, hvor mange ting der er i et sæt, er ordinaler defineret af deres positioner (første, anden, tredje osv.), Og de blev også introduceret i matematik af Kantor, ifølge matematikwebstedet Wolfram MathWorld.
I ordinaltallene er et begreb kaldet omega, betegnet med det græske bogstav ω, sagde Towsner. Symbolet ω er defineret som det, der kommer efter alle de andre naturlige tal - eller, som Cantor kaldte det, den første transfinite ordinal.
Men en af tingene ved tal er, at du altid kan tilføje en anden i slutningen, sagde Towsner. Så der er sådan noget som ω + 1, og ω + 2 og endda ω + ω. (I tilfælde af at du spekulerer på, rammer du til sidst et tal kaldet ω1, der er kendt som den første utallige ordinal.)
Og da tælling er på samme måde som at tilføje yderligere tal, giver disse begreber på en måde dig mulighed for at tælle uendelig fortid, sagde Towsner.
Det rare på alt dette er en del af grunden til, at matematikere insisterer på nøje at definere deres vilkår, tilføjede han. Medmindre alt er i orden, er det vanskeligt at adskille vores normale menneskelige intuition fra det, der kan bevises matematisk.
”Regnestykket fortæller dig, 'Introspekt dybt, hvad tæller?" Sagde Towsner.
For os bare dødelige kan disse ideer være svære at beregne fuldt ud. Hvordan arbejder matematikere nøjagtigt med al denne sjove forretning i deres daglige forskning?
”Meget af det er praksis,” sagde Towsner. "Du udvikler nye intuitioner med eksponering, og når intuition mislykkes, kan du sige, 'Vi taler om dette nøjagtige trin-for-trin rigorøse bevis.' Så hvis dette bevis er overraskende, kan vi stadig kontrollere, at det er korrekt, og derefter lære at udvikle en ny intuition omkring det. "
