Min fysiske sans fortæller mig, at hastigheden for afskåret hastighed er flugthastigheden.
Denne minimering fungerer muligvis bedre med et forhold mellem den samlede energiforandring i asteroidesystemet plus det udkastede materiale og energien fra det udkastede materiale. Raketligningen er til nogen hjælp. Raketligningen er en bevarelse af momentumresultatet med
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
hvor V er reaktionsmassehastigheden, v og m er ændringen i hastighed og massetab for "raket", eller i dette tilfælde asteroiden, og m og v er objektets oprindelige masse og hastighed. Vi indstiller v = 0 og får
? v = V (? m / m)
og den integrerede hastighed er v = V ln (m_i / m_f) for m_i den oprindelige masse og m_f den endelige masse. Hvis ændringen i masse er lille, har vi
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
og asteroidens momentum i slutningen er p ~ = V (m_i - m_f). Vi lader nu V = u - v_e, for v_e flugthastigheden og u hastigheden af objektet kastet af. Dette betyder, at V er hastigheden for det afskårne objekt "i det uendelige."
Antag nu, at vi ønsker at minimere den kinetiske energi fra asteroiden K = (1/2) p ^ 2 / m_f for en given afstødning af den kinetiske energi E = (1/2)? Mu ^ 2. Vi konstruerer et dimensionsfrit forhold,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, det er vigtigt at arbejde med et dimensionsfrit forhold. Så vi minimerer dette for en given? M og beregner u. Så vi minimerer
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
og dette er nul ved v_e = u. Dette virker lidt mærkeligt i betragtning af raketligningsformlen, men det vil jeg diskutere nedenfor.
Derefter tager vi det andet derivat for at afgøre, om dette er et maksimum eller min, og vi får
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
som ved u = v_e er -2 <0 og så er det et min, hvad vi ønsker. Det er også klart, at u = v_e er den minimale kinetiske energi, vi kan overføre til massen.
Det lyder underligt, at vi har v ~ = V (m_i / m_f - 1), som for V = u - v_e er nul ved u = v_e. For u = v_e bevæger asteroiden sig imidlertid ud, indtil det kastede objekt når uendelig. Formålet med dette er at skabe en forskydning af asteroiden, og når det kastede objekt når "uendelig", vil asteroiden nå en vis forskydningsafstand væk.
LC
