Tog et team af matematikere bare et stort skridt hen imod besvarelse af et 160 år gammelt million dollars spørgsmål i matematik?
Måske. Besætningen løste en række andre, mindre spørgsmål i et felt, der kaldes nummerteori. Og ved at gøre det har de åbnet en gammel vej, der til sidst kan føre til et svar på det gamle spørgsmål: Er Riemann-hypotesen korrekt?
Reimann-hypotesen er en grundlæggende matematisk formodning, der har enorme konsekvenser for resten af matematikken. Det danner grundlaget for mange andre matematiske ideer - men ingen ved, om det er sandt. Dets gyldighed er blevet et af de mest berømte åbne spørgsmål i matematik. Det er et af syv "Millennium-problemer", der blev lagt op i 2000 med løftet om, at den, der løser dem, vinder $ 1 million. (Kun et af problemerne er siden blevet løst.)
Hvor kom denne idé fra?
Tilbage i 1859 foreslog en tysk matematiker ved navn Bernhard Riemann et svar på en særlig torneret matematisk ligning. Hans hypotese går sådan: Den virkelige del af enhver ikke-triviel nul i Riemann zeta-funktionen er 1/2. Det er en temmelig abstrakt matematisk udsagn, der har at gøre med, hvilke tal du kan lægge i en bestemt matematisk funktion for at gøre denne funktion lig nul. Men det viser sig at være meget, vigtigst med hensyn til spørgsmål om, hvor ofte du støder på primtal, når du tæller op til uendelighed.
Vi vil vende tilbage til detaljerne i hypotesen senere. Men den vigtige ting at vide nu er, at hvis Riemann-hypotesen er sand, svarer den på mange spørgsmål i matematik.
"Så ofte i taleteori, hvad der ender med at ske, er, hvis du antager Riemann-hypotesen, så er du i stand til at bevise alle slags andre resultater," Lola Thompson, en talteoretiker ved Oberlin College i Ohio, som ikke var involveret i denne seneste forskning, sagde.
Ofte, fortalte hun Live Science, vil nummerteoretikere først bevise, at noget er sandt, hvis Riemann-hypotesen er sand. Derefter bruger de dette bevis som en slags springbræt mod et mere indviklet bevis, som viser, at deres oprindelige konklusion er sandt, uanset om Riemann-hypotesen er sand eller ej.
At dette trick fungerer, sagde hun, overbeviser mange matematikere om, at Riemann-hypotesen skal være sand.
Men sandheden er, at ingen ved med sikkerhed.
Et lille skridt mod et bevis?
Så hvordan syntes dette lille team af matematikere at bringe os nærmere en løsning?
"Hvad vi har gjort i vores papir," sagde Ken Ono, en talteoretiker ved Emory University og medforfatter til det nye bevis, ”er vi besøgt et meget teknisk kriterium, der svarer til Riemann-hypotesen ... og vi beviste et stort del af det. Vi beviste en stor del af dette kriterium. "
Et "kriterium, der er ækvivalent med Riemann-hypotesen", refererer i dette tilfælde til en separat udsagn, der matematisk er ækvivalent med Riemann-hypotesen.
Det er ikke klart ved første øjekast, hvorfor de to udsagn er så forbundet. (Kriteriet har at gøre med noget, der kaldes "hyperbolicitet af Jensen-polynomier.") Men i 1920'erne beviste en ungarsk matematiker ved navn George Pólya, at hvis dette kriterium er sandt, så er Riemann-hypotesen sand - og omvendt. Det er en gammel foreslået rute mod at bevise hypotesen, men en, der stort set var blevet opgivet.
Ono og hans kolleger beviste i et papir, der blev offentliggjort 21. maj i tidsskriftet Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), at kriteriet i mange, mange tilfælde er sandt.
Men i matematik er mange ikke nok til at regne som et bevis. Der er stadig nogle tilfælde, hvor de ikke ved, om kriteriet er sandt eller falsk.
"Det er som at spille et Powerball-millionnummer," sagde Ono. "Og du kender alle numrene, men de sidste 20. Hvis endda et af de sidste 20 numre er forkert, mister du.… Det kan stadig alle falde fra hinanden."
Forskere er nødt til at komme med et endnu mere avanceret bevis for at vise, at kriteriet er sandt i alle tilfælde, og derved bevise Riemann-hypotesen. Og det er ikke klart, hvor langt væk et sådant bevis er, sagde Ono.
Så hvor stor er denne artikel?
Med hensyn til Riemann-hypotesen er det svært at sige, hvor stor en aftale dette er. Meget afhænger af, hvad der sker dernæst.
"Dette er kun en af mange ækvivalente formuleringer af Riemann-hypotesen," sagde Thompson.
Der er med andre ord mange andre ideer, som ligesom dette kriterium ville bevise, at Riemann-hypotesen er sand, hvis de selv blev bevist.
"Så det er virkelig svært at vide, hvor meget fremskridt dette er, for på den ene side er der gjort fremskridt i denne retning. Men der er så mange ækvivalente formuleringer, at måske denne retning ikke vil give Riemann-hypotesen. Måske en af de andre tilsvarende sætninger vil i stedet, hvis nogen kan bevise en af dem, ”sagde Thompson.
Hvis beviset dukker op på dette spor, vil det sandsynligvis betyde, at Ono og hans kolleger har udviklet en vigtig underliggende ramme til løsning af Riemann-hypotesen. Men hvis det dukker op et andet sted, vil dette papir vise sig at have været mindre vigtigt.
Stadig er matematikere imponeret.
"Selvom dette forbliver langt væk fra at bevise Riemann-hypotesen, er det et stort skridt fremad," skrev Encrico Bombieri, en Princeton-nummerteoretiker, der ikke var involveret i holdets forskning, i en ledsagende artikel 23. maj i PNAS. "Der er ingen tvivl om, at denne artikel vil inspirere til yderligere grundlæggende arbejde inden for andre områder af taleteori såvel som i matematisk fysik."
(Bombieri vandt en Fields-medalje - den mest prestigefyldte pris i matematik - i 1974, stort set for arbejde relateret til Riemann-hypotesen.)
Hvad betyder Riemann-hypotesen alligevel?
Jeg lovede, at vi ville komme tilbage til dette. Her er Riemann-hypotesen igen: Den virkelige del af enhver ikke-triviel nul i Riemann zeta-funktionen er 1/2.
Lad os bryde det ned efter, hvordan Thompson og Ono forklarede det.
For det første, hvad er Riemann zeta-funktionen?
I matematik er en funktion et forhold mellem forskellige matematiske mængder. En simpel en kan se sådan ud: y = 2x.
Riemann zeta-funktionen følger de samme grundlæggende principper. Kun det er meget mere kompliceret. Her ser det ud.
Det er en sum af en uendelig sekvens, hvor hvert udtryk - de første par er 1/1 ^ s, 1/2 ^ s og 1/3 ^ s - føjes til de foregående udtryk. Disse ellipser betyder, at serien i funktionen fortsætter sådan, for evigt.
Nu kan vi besvare det andet spørgsmål: Hvad er et nul på Riemann zeta-funktionen?
Dette er lettere. En "nul" af funktionen er ethvert tal, du kan indsætte for x, der får funktionen til at være lig med nul.
Næste spørgsmål: Hvad er den "rigtige del" af en af disse nuller, og hvad betyder det, at det er lig med 1/2?
Riemann zeta-funktionen involverer, hvad matematikere kalder "komplekse tal." Et komplekst tal ser sådan ud: a + b * i.
I denne ligning står "a" og "b" for alle reelle tal. Et reelt tal kan være alt fra minus 3 til nul, til 4.9234, pi eller 1 milliard. Men der er en anden slags nummer: imaginære tal. Forestilte tal dukker op, når du tager kvadratroten af et negativt tal, og de er vigtige og dukker op i alle slags matematiske sammenhænge.
Det enkleste imaginære tal er kvadratroten -1, der er skrevet som "i." Et komplekst tal er et reelt tal ("a") plus et andet reelt tal ("b") gange i. Den "rigtige del" af et komplekst tal er, at "a."
Et par nuller i Riemann zeta-funktionen, negative heltal mellem -10 og 0, tæller ikke med Reimann-hypotesen. Disse betragtes som "trivielle" nuller, fordi de er reelle tal, ikke komplekse tal. Alle de andre nuller er "ikke-trivielle" og komplekse tal.
Riemann-hypotesen siger, at når Riemann-zeta-funktionen krydser nul (undtagen for disse nuller mellem -10 og 0), skal den virkelige del af det komplekse antal være lig med 1/2.
Den lille påstand lyder måske ikke særlig vigtigt. Men det er. Og vi er måske bare en teensy lidt tættere på at løse det.
